ความคิดทางคณิตศาสตร์ยุคสมัยอิยิปต์และโรมัน             ความคิดทางคณิตศาสตร์ของคนในยุคต่อจากบาบิโลน มาเป็นอารยธรรมที่ลุ่มแม่น้ำไนล์ในประเทศอิยิปต์ สิ่งมหัศจรรย์ของโลกที่ยังหลงเหลืออยู่คือปิรามิด ที่แสดงความสามารถของคนในยุคนั้น ชาวอียิปต์รู้จักกับการจารึกและเขียนลงบนแผ่นที่ทำจากต้นกก(papyrus) มีการใช้อักษรรูปภาพแสดงเรื่องราวต่าง ๆ
            ความเกี่ยวโยงทางความคิดก็ยังคงเกี่ยวกับธรรมชาติและวิถีความเป็นอยู่ หน่วยนับของชาวอียิปต์ยังคงใช้เลขจำนวนเต็ม และใช้เศษส่วน ดังนั้นตัวเลขทศนิยมยังไม่มีใช้ จากหลักฐานที่พบบนแผ่นพาไพรัสที่บ่งบอกว่า กษัตริย์ทรงพระนามว่า Ahmes ได้จารึก เรื่องราวเกี่ยวกับการคูณไว้ตั้งแต่เมื่อ 1650 ปีก่อนคริสต์ศักราช  แผ่นจารึกดังกล่าว เป็นตารางการคูณเลข 41 และ 59

	41    x    59
ตัวเลขเริ่มต้น --> 1+1 --> 2+2 --> 4+4 --> 8+8 --> 16+16 --> 32+32 -->	1 59 2 118 4 236 8 472 16 944 32 1888 64 3776	<-- ตัวเลขที่ต้องการคูณ <-- 59+59 <-- 118+118 <-- 236+236 <-- 472+472 <-- 944+944 <-- 1888+1888

            โดยที่ตัวเลข 41 มีค่าอยู่ระหว่าง 32 กับ 64 ดังนั้นจึงใช้วิธีการลบอย่างง่าย ๆ โดยนำค่าทางซ้ายมือของตารางที่มีค่าเท่ากัน หรือน้อยกว่ามาลบ แล้วนำผลลัพธ์ที่ได้มาทำการลบต่อไป ดังนี้

41 - 32	=   9
9 - 8	=   1
1 - 1	=   0

            ดังนั้นการคูณ 59 ด้วย 41 จึงใช้หลักการ
                                                         41 = 32 + 8 +1
            โดยวิธีการบวกตัวเลขของตาราง ดังนี้

1	59
2	118
4	236
8	472
16	944
32	1888
64	3776

ผลลัพธ์

59+472+1888 = 2419

            ระบบการนับจำนวน เปลี่ยนแปลงมาใช้ฐานสิบ เพราะเหตุผลความคุ้นเคยกับการใช้นิ้วมือในการสื่อสาร เมื่อนิ้วมือมีสิบนิ้ว ระบบตัวเลขเบื้องต้นจึงใช้ตัวเลขสิบตัว และใช้ในระบบตัวเลขฐานสิบในยุคต่อมา
            หากโลกของอีทีในภาพยนตร์มีนิ้วมือรวมกัน 8 นิ้ว โลกของอีทีก็น่าจะใช้ตัวเลขฐาน 8 ในการสื่อสารแสดงค่าจำนวนกัน
            ระบบการนับจำนวนจึงไม่จำเป็นต้องยึดติดกับฐานตัวเลขฐานใดฐานหนึ่ง เช่น เมื่อถึงยุคอิเล็กทรอนิกส์ ยุคที่คอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาทมากขึ้น การใช้งานในยุคอิเล็กทรอนิกส์เป็นเครื่องคำนวณ ใช้หลักการแทนตัวเลข ด้วยระดับสัญญาณไฟฟ้าสองระดับ ซึ่งแทนตัวเลข 0 และ 1 การคำนวณในระบบคอมพิวเตอร์จึงใช้หลักการของตัวเลขฐานสอง ระบบตัวเลขฐานสองจึงมีคุณค่าในยุคสมัยที่เครื่องคอมพิวเตอร์เข้ามามีบทบาทที่สำคัญ

ตัวเลขฐานสิบ	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
ตัวเลขฐานสอง	0	1	10	11	100	101	110	111	1000	1001	1010	1011	1100	1101	1110	1111

            ดังนั้นระบบจำนวนจึงเป็นเรื่องของธรรมชาติที่มนุษย์ต้องการใช้ในการนับจำนวน เพื่อจะได้ทราบปริมาณ และเปรียบเทียบค่า หรือใช้ประโยชน์ในชีวิตประจำวันได้มากมายมหาศาล ลองนึกดูว่าชีวิตเราขึ้นอยู่กับจำนวนอะไรบ้าง ตั้งแต่เกิดจนวาระสุดท้าย ชีวิตความเป็นอยู่เกี่ยวข้องกับตัวเลขทั้งสิ้น เราใช้ทรัพยากรทุกอย่างในการดำรงชีวิตเกี่ยวข้องกับจำนวนทั้งสิ้น
            การใช้สัญลักษณ์แทนจำนวน มีพัฒนาการที่ต่อเนื่อง เช่น ชาวอิยิปต์โบราณ ใช้ขีดแทนตัวเลข ดังนี้

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100
ตัวเลขอียิปต์	|	||	|||	||||	|||  ||	||| |||	||||  |||	|||| ||||	||| ||| |||

            สำหรับชาวโรมัน มีวิธีการเขียนตัวเลขแทนจำนวนที่ต่างกัน ดังนี้

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	50	100	500
ตัวเลขโรมัน	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	L	C	D

            สำหรับชาวจีนมีการใช้อักขระจีนแทนตัวเลขจำนวนมานานแล้ว และยังคงใช้จนถึงปัจจุบัน ตัวอย่างเช่น

เลขในปัจจุบัน	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	100	1000
ตัวเลขจีน

 ถ้ายี่สิบก็เขียนเป็น 
             ที่น่าสังเกตคือในสังคมความเป็นอยู่ของแต่ละชาติจะคุ้นเคยกับตัวเลขต่างกัน เช่น ในหลักการของทางตะวันตก ใช้ตัวเลข เป็นจำนวนเท่าของพัน เช่น 10000 ก็เรียก สิบพัน 100000 ก็เรียก หนึ่งร้อยพัน และถ้าเป็นล้านก็จะมีการแทน แต่ในสังคมจีน   ญี่ปุ่น   ใช้การนับตัวเลขถึงหลักหมื่น ถ้าจะแทนแสนก็จะเรียกว่าสิบหมื่น เป็นต้น
             ขอบเขตของตัวเลข หรือการนับจำนวนในสมัยอียิปต์ และโรมันยังไม่มีเลขศูนย์ และยังไม่ใช้ค่าทศนิยม แต่จะใช้เศษส่วนเป็นหลัก ดังนั้นชาวอียิปต์โบราณจะเปรียบเทียบขนาดจำนวนของเศษส่วนได้คล่องกว่า ลองนึกดูว่า ถ้าเราได้เลขเศษส่วนหลาย ๆ จำนวน จะจัดเรียงจากมากไปหาน้อยได้อย่างไร
             ในปัจจุบันเราใช้เลขทศนิยม หรือเลขฐานสิบที่มีการเพิ่มจำนวนเป็นสิบเท่าของแต่ละหลัก และมีการแทนจำนวนที่มีค่าน้อยมากหรือมาก ๆ ได้ด้วยขนาดเป็นจำนวนเท่าของพัน เช่น

10	100	1,000	10,000	1,000,000	1,000,000,000	1,000,000,000,000
ten	hundred	thousand	ten thousand	million	billion	trillion

            สำหรับทางด้านวิทยาศาสตร์ที่มีการแทนตัวเลขจำนวน เราใช้

จำนวนที่มีค่ามากขึ้น กิโล =   103 เมกะ =   106 จิกะ =   109 เทรา =   1012

จำนวนที่มีค่าน้อยลง มิลลิ =   10-3 ไมโคร =   10-6 นาโน =   10-9 พิโค =   10-12

               การแทนตัวเลขจำนวน จึงหันมาใช้ระบบการนับจำนวนแบบฐานสิบ และใช้ระบบทศนิยม ทำให้สะดวกต่อการใช้ การเปรียบเทียบ และสร้างความคุ้นเคย หรือนำมาใช้ประโยชน์ในทางสื่อสารกันได้ง่าย
             แหล่งอารยธรรมของอียิปต์ที่เหลือให้เห็นจนถึงปัจจุบัน คือ ปิรามิด ชาวอียิปต์มีความเชื่อเกี่ยวกับชีวิตหลังการตาย เขาเชื่อว่าเมื่อผู้คนตาย ดวงวิญญาณยังคงอาศัยอยู่ในโลก ดังนั้นชาวอียิปต์จึงยังคงเก็บร่างไว้ หลุมฝังศพของชาวอียิปต์จึงเป็นเรื่องสำคัญ มีวิทยาการเก็บรักษาร่างไว้ ที่เรียกว่า มัมมี่
             วิทยาการทางด้านความคิด และการคำนวณได้รับการนำมาใช้ในการสร้างปิรามิด ซึ่งเป็นหลุมฝังพระศพของกษัตริย์ ปิรามิดที่มีชื่อเสียงและยังถือว่าเป็นสิ่งมหัศจรรย์ของโลกสิ่งหนึ่ง คือปิรามิดที่เมืองกิซ่า ซึ่งอยู่ทางฝั่งตะวันตกของแม่น้ำไนล์ การคำนวณของชาวอียิปต์มีความก้าวหน้ามาก โดยหลักฐานจากกลุ่มปิรามิดที่กิซ่า สามปิรามิด มีความลาดเอียงด้วยมุม 51 องศา 51 ลิบดา    52 องศา 20 ลิบดา และ 51 องศา ซึ่งความลาดเอียงนี้ถือได้ว่าเท่ากัน
             จากหลักฐานแผ่นจารึก Rhind Papyrus ที่มีชื่อเสียง เพราะเป็นแผ่นจารึกบนกระดาษต้นกก ที่ทำขึ้นในสมัยฟาโรห์ โดยมีปัญหาและการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ 87 ปัญหา ทำให้ทราบวิธีการคำนวณตัวเลขต่าง ๆ ของชาวอียิปต์ ชาวอียิปต์ยังคงใช้ตัวเลขจำนวนเต็ม และคิดแบบเศษส่วน มีวิธีการคิดแบบเศษส่วนที่น่าสนใจมาก
             มาตราวัดความยาวของชาวอียิปต์ก็อาศัยชีวิตความเป็นอยู่ และสิ่งแวดล้อมเป็นหน่วยวัดความยาว หน่วยวัดที่ชาวอียิปต์ใช้เป็นดังนี้

cubit	เป็นระยะความยาวของข้อศอกจนถึงปลายนิ้วกลาง ซึ่งแต่ละคนจะมีความยาวไม่เท่ากัน ดังนั้นจึงมีการวางมาตรฐาน cubit ขึ้นมา คือ              royal cubit มีความยาวประมาณ 20.6 นิ้ว              short cubit มีความยาวประมาณ 17.72 นิ้ว ต่อมาชาวกรีกใช้ความยาว cubit เท่ากับประมาณ 18.22 นิ้ว ชาวโรมันใช้ความยาว cubit เท่ากับประมาณ 17.47 นิ้ว
palm	คือระยะ 1/7 cubit
finger	คือระยะ 1/4 palm ดังนั้น 1 cubit มีค่าเท่ากับ 28 finger
hayt	มีค่าความยาวเท่ากับ 100 cubits
remen	คือระยะทางครึ่งหนึ่งของเส้นทะแยงของรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสที่มีด้านแต่ละด้านเท่ากับ 1 cubit
khet	เป็นการวัดความยาวเพื่อคำนวณพื้นที่ โดย 1 khet มีค่าเท่ากับ 10000 cubit และ 1 setat คือหนึ่ง square khet
hekat	เป็นมาตราปริมาตรที่ใช้ตวงวัดความจุของข้าวสาลี ข้าวบาเลย์ ซึ่งหนึ่ง hekat มีค่าประมาณ 292.24 ลูกบาศก์นิ้ว
hinu	มีค่าประมาณ 1/10 ของ hekat
khar	มีค่าเท่ากับ 20 hekats

             ความเป็นอยู่ของผู้คนเกี่ยวข้องกับการทำการเกษตร การเพาะปลูก เมื่อดำเนินการตั้งถิ่นที่อยู่อาศัย ก็ต้องมีการคำนวณพื้นที่ มีการเรียนรู้เรื่องเวลาและฤดูกาล เมื่อเพาะปลูกได้ก็ต้องรับรู้ปริมาณผลผลิตที่ได้รับ จึงมีการตวงข้าวสาลี ข้าวบาเลย์ และเป็นที่มาของมาตราต่าง ๆ ที่ใช้
             ลองนึกดูว่า ทำไมชาวบาบิโลเนียจึงแบ่งเวลาออกเป็น 24 ชั่วโมงเท่ากับหนึ่งวัน และยังเข้าใจฤดูกาล
             ชาวอียิปต์ ได้แบ่งฤดูกาลออกเป็นสามฤดูกาล โดยแบ่งเดือนออกเป็น 12 เดือน เดือนละ 30 วัน และมีเดือนหนึ่งมีค่าเท่ากับ 35 วัน หรือหนึ่งปีของชาวอียิปต์มีค่าเท่ากับ 365 วัน ได้ค่าเกือบเท่ากับการหมุนของโลกรอบดวงอาทิตย์ ชาวอียิปต์แบ่งฤดูกาลเป็น 3 ฤดู คือ ฤดูการเพาะหว่าน (sowing)  ฤดูการเจริญเติบโต (growing)  และฤดูการเก็บเกี่ยว (harvest)
             ชีวิตความเป็นอยู่ของชนทุกชาติจะคุ้นเคยกับหน่วยปริมาณ และมาตราวัดที่แตกต่างกันออกไป
             ชาวไทยคุ้นเคยกับมาตราวัดระยะทางแบบ คืบ ศอก วา เส้น มาก่อน ทำให้หน่วยวัดพื้นที่เป็นไร่  เป็นงาน อย่างไรก็ดีหน่วยวัดปริมาตรของไทยที่คุ้นเคยเดิมคือเป็นถัง เกวียน หรือแม้แต่การแบ่งเวลาก็มีการแบ่งเป็นโมง เป็นยาม
             ในแต่ละชาติ แต่ละภาษาจึงมีมาตรฐานปริมาณของตนเอง มีหน่วยเงินตรา หรือหน่วยใช้ในชีวิตประจำวันต่าง ๆ ที่แตกต่างกัน แต่เมื่อมีการคบค้าสมาคมกันระหว่างประเทศ มีการค้าขายแลกเปลี่ยน ทำให้การดำเนินชีวิตที่ต้องมีมาตรฐานกลาง หรือหน่วยวัดกลางและเป็นที่ยอมรับกันทั่วโลก
             เช่นหน่วยวัดที่ใช้สากลในเรื่องของเวลา วันที่ ระยะทาง ปริมาตร น้ำหนัก หรือแม้แต่มาตรฐานพิเศษบางอย่างที่เกิดขึ้นมาพร้อมกับการพัฒนาเทคโนโลยี เช่น หน่วยวัดปริมาณกระแสไฟฟ้า วัดพลังงาน เป็นต้น

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
ที่มา http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/math_egypt.htm

ความคิดเกี่ยวกับตรีโกณมิติในชีวิตประจำวัน              มนุษย์กับสิ่งแวดล้อมมีความสัมพันธ์ต่อกัน มนุษย์สังเกตปรากฎการณ์ทางธรรมชาติต่าง ๆ โดยเฉพาะในเรื่องดาราศาสตร์ เพราะเป็นเรื่องที่พบเห็นทุกวัน เริ่มตั้งแต่การขึ้น ตก ของดวงอาทิตย์ ดวงจันทร์ และดวงดาวต่าง ๆ หากเราสังเกตการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งดวงดาวต่าง ๆ เมื่อเทียบกับเวลาต่าง ๆ ในรอบปี เราจะพบกับสิ่งที่ชวนคิดหลาย ๆ อย่าง เช่น ดวงอาทิตย์ขึ้นตำแหน่งเดียวกันตลอดทั้งปีหรือไม่ ทำไมแต่ละวันดวงอาทิตย์จึงขึ้นจากขอบฟ้าไม่ตรงเวลาเดียวกัน ความคิดในเรื่องทรงกลมท้องฟ้าที่มองเห็นทำให้เกิดจินตนาการ และหาหนทางเรียนรู้ โดยใช้วิชาการทางคณิตศาสตร์
             ต้นตำรับความคิดทางตรีโกณมิติ จึงมาจากสามเหลี่ยมทรงกลมท้องฟ้า ความสำคัญในเรื่องการคำนวณเกี่ยวข้องกับทรงกลมมีมาก่อนการนำมาใช้ในเรื่องสามเหลี่ยมแนวราบ โดยสามารถนำเอาหลักการทางตรีโกณมิติมาใช้แก้ปัญหาภายหลัง
             ความผูกพันในเรื่องทรงกลมในสมัยเริ่มต้นมีหลักฐานว่า ฮิปพาร์ชุส (Hipparchus) ได้เขียนตารางตรีโกณมิติไว้ตั้งแต่เมื่อ 140 ปี ก่อนคริสตกาล ตารางการคำนวณในสมัยนั้นเน้นการหาความยาวส่วนโค้งของวงกลม เมื่อวงกลมมีรัศมีหนึ่งหน่วย จากตารางที่แสดงให้เห็นว่า เมื่อค่า  มีค่าต่าง ๆ กัน  ค่าของส่วนโค้งจะแปรเปลี่ยนไป และสิ่งที่น่าสนใจคือค่าของ  ที่ได้มีค่าเท่ากับ 2sin(/2) ตารางที่ฮิปพาร์ชุสเขียนไว้ได้สูญหายไปหมด ซึ่งจะเห็นว่า ตัวเลขที่เป็นธรรมชาติมีหลายตัว และมีการค้นคว้ากันมาเรื่อย ๆ ต่อมามีการแบ่งมุมรอบจุดศูนย์กลางของวงกลมเป็น 360 องศา และจากแนวความคิดนี้ พโทเลมีนำเอามุม 360 องศา และแบ่งเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นส่วน 120 ส่วน และคำนวณอัตราส่วนของเส้นรอบรูปต่อเส้นผ่านศูนย์กลางได้ค่าเป็น  ในยุคแรก ๆ กำหนดให้มีค่าโดยประมาณเท่ากับ 3
            ความคิดเชิงทฤษฎีเรขาคณิตจึงเกิดขึ้นอย่างต่อเนื่อง มีการสร้างทฤษฎีทางเรขาคณิตที่ว่าด้วย เส้น มุม ส่วนโค้งของวงกลม ทำให้การคำนวณเจริญก้าวหน้ามาเป็นลำดับ
            ตัวเลขธรรมชาติที่เกี่ยวกับ sin x cos x และ tan x จึงเป็นที่รู้จักกันแพร่หลายและนำมาใช้ประโยชน์ พโทเลมียังทราบความสัมพันธ์ของ sin²x + cos²x = 1 และสามารถพิสูจน์ความจริงนี้ได้
            จากความคิดในเรื่องส่วนโค้งของวงกลมและรัศมี  ทำให้การคิดคำนวณหาค่าของสัดส่วนทางตรีโกณมิติ ในเวลาต่อมาในรูปของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งก็คือสัดส่วนของด้านต่างๆ  และพิจารณาเฉพาะสามเหลี่ยมมุกฉากเท่านั้น ทำให้วิชาตรีโกณมิติสมัยใหม่จึงเน้นเฉพาะรูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีสัดส่วนที่สำคัญเช่นเดียวกับหลักการทางด้านวงกลม และส่วนโค้ง คือ

ค่าของ sin	คือ	อัตราส่วนระหว่างด้านตรงข้ามมุม กับด้านตรงข้ามมุมฉาก
ค่าของ cosin	คือ	อัตราส่วนระหว่างด้านประชิดมุม กับด้านตรงข้ามมุมฉาก
ค่าของ tangent	คือ	อัตราส่วนระหว่างด้านตรงข้ามมุม กับด้านประชิดมุม

            การใช้งานจึงเน้นไปที่เรขาคณิต และการหาผลลัพธ์ของมุมและเส้นที่มีพัฒนาการต่อเนื่องและนำมาใช้ในชีวิตประจำวัน
            ลองนึกดูว่าชีวิตความเป็นอยู่ของเราเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตอยู่มาก ทฤษฎีที่เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิต เป็นเรื่องที่มีมานานแล้ว และมีการนำมาประยุกต์ใช้งานได้มากมาย

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
ที่มา http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/math_tri.htm

ความรุ่งเรืองของมาซีโดเนีย

ในขณะที่ผู้ครองนครต่าง ๆ ของกรีกอ่อนกำลังลง พระเจ้าฟิลลิปที่ 2 แห่งมาซีโดเนีย ซึ่งปกครองตอนเหนือของกรีกในปี 259-336 BC ก็รวบรวมสร้างอาณาจักรกรีกให้เป็นปึกแผ่น การขยายอาณาเขตของกรีกทำให้แว่นแคว้นต่าง ๆ ของกรีกเข้ามาสวามิภัก ยกเว้น สปาริต้า พระราชโอรสของกษัตริย์ฟิลลิปชื่อ อะเล็กซานเดอร์ (336-323 BC) ขึ้นครองราชต่อจากพระบิดา ด้วยพลังของกองทัพที่ทรงอานุภาพและความหลักแหลมในการรบอะเล็กซานเดอร์จึงได้รับการกล่าวขวัญถึง การขยายดินแดนด้วยการรบชนะเปอร์เซียในปี 333 BC และยังบุกเลยมาจนถึงอินเดีย การขยายอาณาเขตทำให้เกิดการแพร่ขยายอารยธรรมของกรีกเข้าสู่อินเดีย

---

ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

---

ที่มา http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/mathdev/macedo.htm

การแทนพิกัดและรูปตัดกรวย

จากความพยายามที่หาหนทางนำเอาคณิตศาสตร์มาแทนรูปทรงเรขาคณิต โดยเริ่มจากในระนาบ จึงมีการกำหนดระนาบเป็นแกนสมมุติ x, y ซึ่งแทนระนาบใด ๆ

เมื่อจุดอยู่บนระนาบจึงแทนด้วยคู่ลำดับ เช่น จุด  3 , 3   และทางเดินของจุดก่อให้เกิดเป็นเส้น   เส้นตรงที่ลากผ่านจุดสองจุดบนระนาบ จึงเขียนแทนด้วยสมการทางเดินของจุด เช่น 2x + 2y = 4 เขียนเส้นทางเดินของเส้นตรงนี้ได้

            ถ้าเขียนรูปวงกลมลงบนระนาบ โดยอาศัยแกนพิกัดฉาก และให้จุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่คู่ลำดับ x , y เป็น  0 , 0 ดังรูป
            ทางเดินของจุด P(x,y)   เมื่อให้ระยะรัศมี  r  คงที่เสมอจะได้เส้นส่วนโค้งของวงกลม จากสมการของพีธากอรัสทำให้เราได้

OP2  =  OQ2  +  OP2

หรือเขียนได้เป็น

x2  +  y2  =  r2

             ซึ่งก็หมายถึงการแทนวงกลมลงบนระนาบที่มีรัศมี r และจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,0) เราเขียนสมการทางเดินของจุดได้

             ยามค่ำคืนถ้าได้มีโอกาสสังเกตบนฟากฟ้าจะพบเห็นดาวที่สุกสว่างมีแสงเจิดจ้า ซึ่งได้แก่ดาวเคราะห์ และหากสังเกตต่อเนื่องไปหลาย ๆ วัน และอาจถึงหลายเดือนจะพบเห็นการเคลื่อนที่ผ่านกลุ่มดาวฤกษ์
             ในทางดาราศาสตร์ พบว่าทางเดินของดาวเคราะห์ต่าง ๆ และโลกโคจรรอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี ในยุคแรกคอเปอร์นิคัส (corpernicus) เสนอทฤษฎีการโคจรของดาวเคราะห์เป็นรูปวงกลม แต่ต่อมาพบว่าไม่ถูกต้อง ในปี 1600 เคปเลอร์ (Kepler) ได้เริ่มศึกษารายละเอียดการโคจรของดาวเคราะห์ เคปเลอร์ได้ทำการบันทึกการเปลี่ยนแปลงของตำแหน่งดาวอังคารบนฟากฟ้า จนในปี 1609 ก็สามารถพิสูจน์ให้เห็นว่า ดาวอังคารเคลื่อนที่รอบดวงอาทิตย์เป็นวงรี หลังจากนั้นก็พิสูจน์ได้ว่าดวงจันทร์ และดาวบริวารต่าง ๆ หมุนเป็นรูปวงรี
            วงรี เป็นเส้นโค้งที่มีลักษณะใกล้เคียงกับวงกลม แต่มีจุดคงที่สองจุดเรียกว่า จุดโฟกัส เส้นโค้งที่เกิดจากการเคลื่อนที่ของจุด ซึ่งลากมาจากจุดโฟกัสจะทำให้ผลบวกของเส้นทั้งสองนี้คงที่เสมอ

 ผลบวกของ F'P + FP มีค่าคงที่เสมอ เมื่อ P เคลื่อนที่ไปบนเส้นโค้ง             หากลากเส้นผ่านระหว่างโฟกัสทั้งสอง จะตัดวงรีที่ A และ A' ความยาวนี้มีค่าเท่ากับ 2a เรียก แกนยาวของวงรี และเส้นที่ลากผ่านจุด C ไปตามแกน Y พบกับส่วนโค้งวงรีที่ B และ B' ซึ่งมีความยาว 2b เรียกว่า แกนสั้นของวงรี สมการของรูปวงรีเมื่อเขียนในรูปสมการจะได้


 
            เทคโนโลยีการสื่อสารดาวเทียมประกอบด้วยจานรับสัญญาณ ตัวจานรับสัญญาณมีผิวโค้ง เพื่อรับสัญญาณที่ส่งตรงมาจากดาวเทียม และสะท้อนรวมกันที่จุดรับสัญญาณ เพื่อให้มีสัญญาณที่แรงขึ้น
            หรือเมื่อเราใช้ไฟฉายส่องเดินทาง สังเกตว่ามีกระจกสะท้อนแสงเพื่อรวมลำแสงให้พุ่งเป็นลำตรง โดยหลักการตามกฎการสะท้อนของแสง มุมตกกระทบย่อมเท่ากับมุมสะท้อน จุดที่รวมกันบนผิวระนาบโค้งนี้เรียกว่าจุดโฟกัส ผิวโค้งที่ทำให้มุมตกกระทบและสะท้อนมารวมกันที่จุดโฟกัส เรียกว่า ผิวโค้งพาราโบลา สมการของเส้นโค้งพาราโบลาเขียนได้ดังนี้

y   =   Ax2

 
             และถ้ามีจุดคงที่หรือจุดโฟกัสสองจุดเช่นเดียวกับวงรี ถ้าให้จุด ๆ หนึ่งเคลื่อนที่ไป โดยกำหนดให้ผลต่างระหว่างจุดที่เคลื่อนที่และจุดคงที่ทั้งสองมีค่าคงที่ เราจะได้เส้นโค้งที่เรียกว่า ไฮเปอร์โบลา และจะมีเส้นโค้งนี้สองเส้นที่ไม่ต่อกัน

 จากรูป ผลต่างของ P F' กับ P F มีค่าคงที่             การศึกษาเส้นทางเดินของจุด ทำให้เคปเลอร์ทราบวิถีการโคจรของดาวเคราะห์ และต่อมานิวตันเข้าใจถึงหลักการของแรงโน้มถ่วง และทราบถึงผลของการเคลื่อนที่ที่มีต่อแรงโน้มถ่วง นอกจากนี้ฮัลเลย์ซึ่งเป็นนักดาราศาสตร์ที่มีชื่อเสียงโด่งดังก็สามารถใช้หลักการ การเคลื่อนที่เป็นรูปวงรี และพาราโบลา และแรงโน้มถ่วงของดวงดาวต่าง ๆ ทำให้อธิบายปรากฎการณ์การเดินทางของดาวหาง และสามารถทำนายดาวหางว่าจะกลับมาให้เห็นอีกครั้งเมื่อไร

            การศึกษา เส้นโค้งที่กล่าวมาแล้วคือ วงกลม วงรี พาราโบลา และไฮเปอร์โบลา มีมานานแล้ว ตั้งแต่ยุคสมัยอียิปต์โบราณ ทั้งนี้เส้นโค้งเหล่านี้เกิดจากการตัดรูปกรวยที่มีฐานเป็นวงกลมด้วยพื้นราบในลักษณะต่าง ๆ
            ถ้าตัดด้านพื้นราบขนานกับฐาน ก็จะได้วงกลม ถ้าติดเอียงทำมุมก็จะได้รูปวงรี เมื่อพื้นราบเอียงจนขนานกับเส้นที่ลากจากยอดมาฐาน ก็จะได้รูปพาลาโบลา ถ้าใช้กรวยสองกรวยต่อจุดยอดกัน แล้วติดพื้นราบซึ่งตั้งฉากกับฐานกรวยจะได้รูปไฮเปอร์โบลา


เมื่อนำพื้นราบตัดรูปกรวยจะได้เส้นโค้งแบบต่าง ๆ             เส้นโค้งและผิวโค้งทางคณิตศาสตร์ยังมีอีกมาก และเป็นศาสตร์ที่สามารถนำมาใช้ในการออกแบบผลิตภัณฑ์ต่าง ๆ ได้มากมาย ลองค้นหาจากเอกสารต่าง ๆ ดูว่า เส้นโค้งทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจเหล่านี้มีลักษณะอย่างไร cycloid, cardioid Ephicycloid Hypocycloid spiral ฯลฯ
            ประโยชน์ของเส้นโค้งหรือผิวโค้งจึงมีมากมายและเกี่ยวข้องกับชีวิตประจำวันอย่างมาก เช่น ขณะขับรถไปในท้องถนน ถ้าวิศวกรออกแบบถนนให้มีส่วนโค้งของผิวถนนขณะขึ้นสะพาน และลงระนาบพอดี ผู้ขับขี่ยวดยานจะไม่รู้สึกกระเพื่อม

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์
ที่มา http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/math_cone.htm

ความคิดทางเรขาคณิต

รูปทรงเรขาคณิต เป็นรูปที่ประกอบด้วยจุด เส้นตรง ส่วนโค้งต่าง ๆ และถ้าอยู่ในระนาบเดียวกัน เราก็เรียกว่ารูประนาบ แต่ถ้าหากเป็นรูปทรงที่มีความหนา ความลึก ความสูง เราก็เรียกว่ารูปสามมิติ            หากเราหยิบภาชนะต่าง ๆ ที่อยู่รอบตัวเราขึ้นมาจะพบว่าประกอบด้วย รูปทรงเรขาคณิต หลากหลายรวมกัน ความคิดเกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตในแนวทางคณิตศาสตร์มีพัฒนาการมายาวนานหลายพันปีแล้ว



 รูปทรงเรขาคณิตแบบต่าง ๆ              รูปทรงกลม ลูกบอล แก้วน้ำ ภาชนะถ้วยชามต่าง ๆ ประกอบเป็นรูปร่างแบบต่าง ๆ ดังนั้นการจะอธิบายหรือออกแบบสิ่งต่าง ๆ จำเป็นต้องอาศัยทฤษฎีทางเรขาคณิต
             ปัจจุบันประเทศไทยกำลังจะมีรถไฟใต้ดิน ลองนึกดูว่า ถ้าจะเจาะอุโมงค์ จากที่หนึ่งให้ทะลุหรือชนกับการเจาะมาจากอีกแนวหนึ่งได้ ต้องใช้หลักการทางเรขาคณิตมาช่วย
            นักคณิตศาสตร์ เริ่มจากการกำหนดจุด จุดซึ่งไม่มีขนาด ไม่มีมิติ และถ้าเราให้จุดเคลื่อนที่แนวทางการเคลื่อนที่ของจุด ก่อให้เกิดเส้น
             หากหยิบแผ่นกระดาษมาหนึ่งแผ่น ผิวของแผ่นกระดาษเรียกว่าระนาบ รูปที่เกิดบนกระดาษนี้เรียกว่ารูประนาบ และถ้าดูที่ผิวของถ้วยแก้วที่เป็นรูปทรงกระบอก เราก็จะเห็นผิวโค้ง ซึ่งเราอาจมองรูปผิวโค้งของถ้วยแก้วในลักษณะสามมิติ

จุดไม่มีมิติ

เส้นตรงมี 1 มิติ

ระนาม 2 มิติ

กล่องมี 3 มิติ

มิติต่าง ๆ ของรูปทรงเรขาคณิต             ในยุคสมัยบาบิโลน มีหลักฐานชัดเจนว่าได้มีการพิสูจน์ให้เห็นถึงทฤษฎีความสัมพันธ์ของด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก การพิสูจน์กฎเกณฑ์นี้มีมาก่อนที่พีธากอรัสเกิดถึงกว่าพันปี (พีอากอรัสเกิดเมื่อ 572 ก่อนคริสตกาล) แต่พีธากอรัสได้พิสูจน์และแสดงหลักฐานต่าง ๆ ให้โลกได้รับรู้ และต่อมาได้ยอมรับว่าทฤษฎีบทที่ว่าด้วยเรขาคณิตที่เกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เรียกว่า ทฤษฎีบทพีธากอรัส

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

ที่มา http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/math_geo.htm

ความคิดของนักคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ

จากที่กล่าวมาแล้วว่า จุดเริ่มต้นของคณิตศาสตร์มาจากการนับ ราวประมาณ 2000 ก่อนคริสต์ศักราช ชาวบาลิโลเนียได้เริ่มพัฒนาความคิดทางคณิตศาสตร์ มีการนับตัวเลข การแบ่งหน่วย มีลักษณะเป็นเลขจำนวนเต็ม และแบ่งส่วนย่อยมีฐาน 60 ดังที่ใช้มาในเรื่องเวลาจนถึงปัจจุบัน            การคิดคำนวณเกี่ยวกับตัวเลขที่รู้จักกันดีคือ ทฤษฎีบทพีธากอรัส ที่รู้จักและรวบรวมพิสูจน์โดยพีธากอรัส ก็มีการคิดคำนวณกันมาประมาณ 1700 ก่อนคริสตกาล แล้ว ในช่วงเวลานั้นชาวบาบิโลเนียก็รู้จักวิธีการแก้สมการเชิงเส้น และสมการกำลังสอง ซึ่งเป็นต้นแบบสำหรับวิชาพีชคณิตในเวลาต่อมา
            ชาวกรีกมีการศึกษาทางด้านคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่อง โดยเฉพาะปัญหาทางด้านเรขาคณิต โดยเฉพาะการหาขนาดพื้นที่และปริมาตรของรูปทรงเรขาคณิต และผลที่น่าสนใจคือ การคำนวณหาค่าของ  ชาวกรีกยังรับเอาวิทยาการต่าง ๆ ของยุคบาบิโลเนีย จนถึงยุคกรีกในช่วงเวลาประมาณ 450 ก่อนคริสตกาล
            ชาวกรีกโบราณได้ศึกษาค้นคว้าเกี่ยวกับรูปตัดกรวย เป็นผลของการศึกษาที่เกี่ยวโยง เพื่อการค้นคว้าทางดาราศาสตร์ และทำให้เกิดวิชาตรีโกณมิติ ขณะที่วิทยาการทางคณิตศาสตร์ที่กรีก กำลังรุ่งเรือง ประเทศในกลุ่มอิสลามซึ่งได้แก่ อิหร่าน ซีเรีย และอินเดีย ก็มีการพัฒนาและศึกษาวิชาการทางด้านคณิตศาสตร์ ต่อจากนั้นวิทยาการทางด้านคณิตศาสตร์ก็แพร่กลับไปยังยุโรป ทำให้มีการพัฒนาการต่อเนื่องไปศตวรรษที่สิบแปด
            วิทยาการทางคณิตศาสตร์ในยุโรป เริ่มขึ้นในราวศตวรรษที่ 16  ซึ่งในช่วงนั้นมีนักคณิตศาสตร์หลายคนที่ทำการศึกษาค้นคว้าทางพีชคณิต และต่อเนื่องมากในหลักการทางแคลคูลัส
            ระหว่างศตวรรษที่ 17  ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไปในทางที่ก้าวหน้าอย่างรวดเร็ว โดยเน้นไปในทางเรขาคณิตและแคลคูลัส เพื่อให้เห็นแนวคิดที่สำคัญของการพัฒนาที่สำคัญเกี่ยวข้องกับนักคณิตศาสตร์ผู้ซึ่งมีบทบาทที่สำคัญต่อแนวคิด

---

ที่มา : รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

ที่มา http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/math_math.htm

พัฒนาการทางคณิตศาสตร์

พัฒนาการทางความคิดของมนุษย์ควบคู่กับการพัฒนาอารยธรรมของโลกเรื่อยมา การดำรงชีวิตของมนุษย์มีรากฐานของการใช้ปัญญาเพื่อความเป็นอยู่ที่ดีขึ้น รู้จักสังเกตุ จดจำ และวิเคราะห์ แยกแยะ สังเคราะห์สิ่งต่าง ๆ การพัฒนาทางด้านวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีในยุคปัจจุบันมีรากฐานมาจากการพัฒนาทางด้านคณิตศาสตร์ในอดีต การเรียนรู้พัฒนาการทางความคิดของมนุษย์ เข้าใจความนึกคิดจากอดีต จนถึงปัจจุบัน ทำให้การเรียนรู้คณิตศาสตร์เป็นเรื่องที่สนุกสนานน่าสนใจ และเข้าใจคณิตศาสตร์ได้ดียิ่งขึ้น เพื่อให้เข้าใจสภาพสิ่งแวดล้อมทางอารยธรรมต่าง ๆ จำเป็นต้องทำความรู้จักกับแหล่งอารยธรรมของโลก จากอดีตในยุคแรกเรื่อยมาจนถึงปัจจุบัน แหล่งอารยธรรมโบราณได้สร้างสิ่งมหัศจรรย์ของโลกไว้หลายแห่ง ความนึกคิดและสร้างสรรงานทางด้านคณิตศาสตร์ในอดีต โดยนักคณิตศาสตร์ที่สำคัญของโลกเป็นเรื่องน่าศึกษา และเพื่อให้เกิดภาพการจินตนาการที่ต่อเนื่องจึงขอนำเสนอภาพรวมของอารยธรรมและการเปลี่ยนแปลงตามกระแสโลก โดยเริ่มตั้งแต่อาณาจักรอิยิปต์โบราณ

อารยธรรมอียิปต์โบราณ	อาณาจักรกรีซ	มาซีโดรเนีย	อาณาจักรเปอร์เซีย	อาณาจักรโรมัน
อาณาจักรไบเซนไทน์	อาณาจักรมองโกล	อาณาจักรออตโตมัน	ยุคฟื้นฟูศิลปวัฒนธรรม	ยุคการแสวงหา

---

ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

---

ที่มา http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/mathdev/mathdev.htm

อารยธรรมอียิปต์โบราณ

อารย ธรรมที่เก่าแก่และรุ่งเรืองมากแห่งหนึ่งของโลก คือ อาณาจักรอิยิปต์โบราณ ชาวอิยิปต์มีพัฒนาการทางวิชาการที่ก้าวหน้า มีการสร้างสรรสิ่งก่อสร้างและศิลปโดยสถาปนิกจนเป็นที่เลื่องลือ งานศิลปที่สำคัญได้แก่ การแกะสลัก และงานสถาปัตยกรรมต่าง ๆ ชาวอิยิปต์ได้พัฒนาศาสตร์ในสาขาต่าง ๆ ทั้งเรื่องดาราศาสตร์ คณิตศาสตร์ การแพทย์ และงานสร้างสรรรูปวาด ทั้งที่วาดบนฝาผนัง หรือแผ่นพาไพรัส (papyrus) ผลงานที่จารึกบนแผ่นพาไพรัสมีชื่อเสียงเลื่องลือ และเป็นที่บันทึกประวัติศาสตร์ได้ดีจนถึงปัจจุบัน ชาวอิยิปต์ยังเป็นชนชาติที่มีความรู้ทางด้านการเกษตร สามารถทำการเพาะปลูกได้ดียิ่งในลุ่มแม่น้ำไนล์ อาณาจักรของชาวอิยิปต์มีมาก่อน 5000 BC ประมาณ 3300 BC อาณาจักรอิยิปต์แบ่งออกเป็นสองอาณาจักร คือ อาณาจักรตอนบนตอนล่าง จนราว 3118 BC จึงได้รวมเป็นหนึ่งเดียว กษัตริย์ผู้รวมแผ่นดินอียิปต์มีพระนามว่า กษัตริย์เมเนส (Menes) สร้างเมืองหลวงอยู่ที่เมมไพส์ (Memphis) ปิรามิดที่เก่าแก่ของอิยิปต์ที่มีชื่อเสียงคือ ปิรามิดแบบเป็นชั้น ๆ ที่เมืองซัคคาร่า (Sakkara) สร้างโดยกษัตริย์โซเซอร์ (Soser) ประมาณปี 2667-2648 BC ปิรามิดที่มีชื่อเสียงในปัจจุบันคือ ปิรามิดที่เมืองกิซ่า (Giza) ซึ่งตั้งอยู่ทางตะวันตกของแม่น้ำไนล์ ปิรามิดแห่งเมืองกิซ่ามีลักษณะแตกต่างจากปิรามิดรุ่นแรก ๆ คือเป็นปิรามิดที่มีผิวเรียบ การสร้างปิรามิดรุ่นหลังนี้ สร้างในยุคอารยธรรมอิยิปต์ที่มีกษัตริย์ปกครอง ทรงพระนามว่า ฟาโรห์ การก่อสร้างปิรามิดเพื่อเป็นสถานที่ฝังพระศพของกษัตริย์และบุคคลสำคัญต่าง ๆ อาณาจักรอิยิปต์โบราณยุคใหม่นี้ก่อตั้งราว 1567-1085 BC และหลังจากนั้นอาณาจักรอิยิปต์เริ่มเสื่อมถอยลง จนราว525-404 BC ก็ถูกครอบครองโดยเปอร์เซีย และจาก 332-30 BC ก็ตกอยู่ภายใต้การครอบครองของกรีกและมาเซโคเนียน หลังจาก 30 BC ก็ตกอยู่ภายใต้อาณาจักรโรมัน

---

ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

---

ที่มา http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/mathdev/egypt.htm

อาณาจักรกรีซ

อาณาจักรกรีซถือว่าเป็นอาณาจักรแห่งความเจริญรุ่งเรืองในยุโรป ในยุคแรก จากหลักฐานทางประวัติศาสตร์พบว่า อาณาจักรกรีซเริ่มต้นที่หมู่เกาะทางตอนใต้ของประเทศกรีซในปัจจุบัน เกาะที่เป็นแหล่งอารยธรรมยุคแรกคือครีต (Crete) ซึ่งพัฒนาในช่วง 3000-2000 BC เมืองหลวงหลักได้รับการพัฒนาและจัดระบบของเมืองเป็นอย่างดี มีช่างแกะสลักที่มีฝีมือมาก มีการค้าขายระหว่างเมือง พระราชวังที่มีชื่อเสียงอยู่ที่เมือง Knossos บนเกาะครีต และยังมีพระราชวังที่เมือง Phaisto และ Mallia ความเจริญรุ่งเรืองทำให้มีการพัฒนาเข็มทิศเดินเรือ จากการขุดค้นเรือโบราณที่จมอยู่ในทะเลใกล้เกาะครีตทำให้พบว่าการเดินเรือในสมัยนั้นมีเครื่องหาทิศช่วยนำทาง ทำให้การติดต่อค้าขายมีไปถึงอิยิปต์ และกรีซ (บนแผ่นดิน) ในราวปี 1500-1450 BC เกิดภูเขาไฟระเบิดครั้งใหญ่บนเกาะคริตทำให้สิ่งต่าง ๆ ถูกทำลายลงไปมาก พวกไมซีเนียน (Mycenaeans) จากแผ่นดินกรีซก็เข้าครอบครองเกาะครีตในปี 1380 BC ไมซีเนีย (Mycenae) (1900-1050 BC) ไมซีเนียเป็นชนชาวอินโด-ยูเรเนียนผู้ที่อพยพเคลื่อนย้ายมาจากยุโรปและเอเซีย และมาตั้งถิ่นฐานอยู่ที่กรีซ ก่อสร้างเมืองทางตอนใต้ของกรีซ ต่อมามีความเจริญรุ่งเรืองขึ้น จนครอบครองเกาะครีต ซึ่งมีความเจริญรุ่งเรืองมาก่อน กรีซ 750-338 BC กรีซมีความจริญรุ่งเรือง โดยเฉพาะทางด้านการค้าขายกับต่างประเทศและการเดินเรือ กรีซมีศิลปวิทยาที่ก้าวหน้ามาก มีการออกแบบดัดแปลงตัวอักษรขึ้นใช้เป็นภาษากรีก เมื่อราวปี 725 BC เมืองที่สำคัญในยุคสมัยกรีซโบราณ เช่น กรุงเอเธน เมืองสปาริต้า และคอรินท์ กรีซมีศึกสงครามกับอาณาจักรเปอร์เซียซึ่งอยู่ทางด้านเอเซียไมเบอร์ ในราวศตวรรษที่ 5 BC อารยธรรมของกรีซเจริญรุ่งเรืองมาก โดยเฉพาะที่กรุงเอเธน ซึ่งเป็นแหล่งอารยธรรม การศึกษาศิลปวิทยา โดยเฉพาะงานทางด้านวิทยาศาสตร์ สิ่งที่หลงเหลืออยู่จนถึงปัจจุบันคือ วิหารพาเรนอล และโรงละครที่กรุงเอเธน

---

ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

---

ที่มา http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/mathdev/greece.htm

ความรุ่งเรืองของมาซีโดเนีย

ในขณะที่ผู้ครองนครต่าง ๆ ของกรีกอ่อนกำลังลง พระเจ้าฟิลลิปที่ 2 แห่งมาซีโดเนีย ซึ่งปกครองตอนเหนือของกรีกในปี 259-336 BC ก็รวบรวมสร้างอาณาจักรกรีกให้เป็นปึกแผ่น การขยายอาณาเขตของกรีกทำให้แว่นแคว้นต่าง ๆ ของกรีกเข้ามาสวามิภัก ยกเว้น สปาริต้า พระราชโอรสของกษัตริย์ฟิลลิปชื่อ อะเล็กซานเดอร์ (336-323 BC) ขึ้นครองราชต่อจากพระบิดา ด้วยพลังของกองทัพที่ทรงอานุภาพและความหลักแหลมในการรบอะเล็กซานเดอร์จึงได้รับการกล่าวขวัญถึง การขยายดินแดนด้วยการรบชนะเปอร์เซียในปี 333 BC และยังบุกเลยมาจนถึงอินเดีย การขยายอาณาเขตทำให้เกิดการแพร่ขยายอารยธรรมของกรีกเข้าสู่อินเดีย

---

ที่มา: รศ. ยืน ภู่วรวรรณ, สำนักบริการคอมพิวเตอร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์

---

ที่มา http://web.ku.ac.th/schoolnet/snet2/history_math/mathdev/macedo.htm